f-求和规则（f-sum rule）是量子多体物理中一个非常重要的概念，它为我们提供了一个将系统的响应函数与守恒量直接关联工具。在不同的物理体系中，这一规则都被广泛应用，尤其是在光学、固体物理和凝聚态物理的研究中。要理解f-求和规则，首先要回顾线性响应理论的基本思想。

在线性响应理论中，当一个量子系统受到外部微扰时，系统的响应可以通过线性化的方式与外部场的强度联系起来。通常，这个外部微扰可以是一个电场、磁场或者其他经典场，而系统的响应则可以是电导率、磁化率、极化等物理量。通过测量这些响应，我们可以推断系统的内部结构和动力学特性。然而，量子系统的响应行为往往十分复杂，尤其是在强相互作用的系统中，直接解出其响应函数通常极为困难。

f-求和规则为这种复杂的动态行为提供了一个简单而强有力的约束。这个规则的核心思想是：尽管系统的响应可能表现出复杂的频率依赖关系，但频率积分的结果却往往由系统的一些基本守恒量决定。例如，在电子体系中，f-求和规则表明电导率的频率积分与电子的总密度直接相关。这一结果意味着，无论系统的微观动力学有多复杂，电导率的频率响应的整体特性总是受限于系统中的电子总数。这一规则为我们提供了一个重要的物理直觉，使得我们即使在无法详细了解系统所有动力学细节的情况下，也能对系统的整体响应行为做出合理的推断。

例如，在电子系统中，传统的f-求和规则可以通过计算电导率σ(ω)的频率积分来表达：

其中，σ(ω)是频率下的电导率，n是电子的密度，e是电子电荷，m是电子质量。这一方程表明，电导率的频率积分仅由电子的基本物理属性决定，而与系统的微观复杂性无关。也就是说，不管电子系统的具体相互作用有多么复杂，电导率的总权重总是与电子的数目成正比。这种现象在多种实验中得到了验证，为解释复杂系统的实验结果提供了有力的理论基础。

f-求和规则不仅适用于电导率，还可以推广到光学响应、磁化率、极化和其他物理量。例如，在光学系统中，f-求和规则描述了介质对电磁波响应的强度与其内部电子结构的关系。在磁性系统中，它同样可以用于分析磁化率与系统自旋态之间的联系。

传统的f-求和规则在物理学中有着广泛的应用价值，尤其是在凝聚态物理和光学等领域。它在解释实验结果和验证理论模型时起到了不可替代的作用。例如，在强相互作用电子系统中，实验数据往往十分复杂，难以通过简单的模型解释。然而，f-求和规则为我们提供了一个可靠的整体性约束，即使在具体的动力学过程难以解析的情况下，也能帮助我们理解系统的总体响应行为。此外，由于求和规则是严格成立的，也可以为很多理论和数值研究方法提供检验依据。

在实际情况下，一个物理系统通常不可避免地会向环境耗散。对于耗散系统而言，虽然传统的f-求和规则仍然适用，但无法全面描述系统在耗散条件下的响应约束。由于时间平移对称性的破坏，双时间响应关联函数成为常态，其对应的双频率关联如图1中所示。

图1 ：双频率关联的例子

物理学院张威教授课题组和中国科学院工程物理研究院陈宇研究员合作，通过将耗散视作另一个参数维度，通过引入耗散f-求和规则，进一步开拓了对系统响应的全新理解。针对双频率特性，研究者提出了三种不同形式的耗散f-求和规则。这些求和规则具有极强的普适性，既可以应用于光与原子相互作用的系统，细化我们对复杂的线性与非线性相互作用能的理解，也可以应用于磁杂质的Kondo系统，帮助我们更准确地描述系统中的相互作用。在这项工作的帮助下，耗散不再只是一个环境引入的副作用，而可以成为分析和控制复杂量子系统的重要手段。

该项工作以题目f-Sum Rules for dissipative systems发表于《Physical Review Letters》(Phys. Rev. Lett. 133, 100401)。物理学院博士生杨鑫鑫为论文的第一作者。